Método Montecarlo y los físico


Mi hermano es físico y actualmente está dando un curso de Física Computacional con sus amigos. Me plático sus inquietudes del método Montecarlo y se las respondí aunque al final no se las expusieron a sus alumnos.

El Método Montecarlo es un método numérico para simular sistemas físicos o matemáticos la virtud de esté método radica en un eficacia mayor a los usuales debido que hace uso de métodos aleatorios.

Uno de los principales usos de este método es la integración consiste en tratar de obtener el valor

\mu=\int f(x) dV

para lo cual se generan variables aleatorias X_1,X_2,\dots independientes con densidad V, de donde se sigue que \mathbb{E}f(X_i)=\mu y por lo tanto por la ley de los Grandes Números se sigue que

\frac{\sum_{i=1}^n f(X_i)-n\mu}{n}=\frac{\sum_{i=1}^n f(X_i)}{n}-\mu\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} 0\qquad \mbox{c.s.},

por lo cual si quiero obtener el valor \mu basta con que promedie un número n suficientemente grande de variables; de donde se desprende la primera pregunta y la más importante para entregar resultados: ¿qué tan grande debe ser n para obtener un resultado bueno?. Es en este sentido que me planteo su duda mi hermano y es aquí dónde los físicos que conozco no saben la respuesta correcta.

El primer acercamiento a esta pregunta, según los físicos, es calcular la varianza de \tilde{I}_n=\frac{\sum_{i=1}^n f(X_i)}{n} de donde se tiene que

\mathbb{V}\mbox{ar} \tilde{I}=\frac{\mathbb{V}\mbox{ar} f(X_i)}{n}=\frac{\sigma^2}{n},

de donde implican que lo único importante es hacer n sufiecientemente grande para que \frac{\sigma^2}{n}<\epsilon, pero esto no siempre es suficiente para tener una buena aproximación ya que la varianza de una variable no siempre nos dice cosas sobre como es la variable aleatoria (vease casos en los que es inútil la desigualdad de Chebyshev), es aquí donde el otro gran teorema de la probabilidad entra a resolver esta duda.

El Teorema del Límite Central nos dice que

\frac{\sum_{i=1}^n f(X_i)-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} N(0,1)\qquad \mbox{en distribuci\'on},

esto es

\mathbb{P}\left(\frac{X_1+X_2+\dots+X_n-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\leq x\right)\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\Phi(x)

donde \Phi(x) es la distribución normal. Pero qué quiere decir esto al problema de decir cual es la n que debemos poner para obtener una buena estimación.

Notemos que |\tilde{I}_n - \mu| es nuestro error en la aproximación por lo cual usando el Teorema del Límite Central se tiene que

\mathbb{P} \left(|\tilde{I}_n-\mu|<\frac{x\sigma}{\sqrt{n}}\right)\approx\mathbb{P}(|Z_n|<x)=2\Phi(x)-1.

Aplicando esto se tiene por ejemplo que si tengo quiero que con un 95% de eficacia el error sea menor que 1/1000 tenemos

2\Phi(x)-1=0.95\qquad \Longrightarrow\qquad \Phi(x)=1.95/2=0.975

de donde, usando un tabla para \Phi(x), se tiene que x=1.96 y ahora se tiene que n se tiene que elegir tal que 1.96\,\sigma/\sqrt{n}\leq 1/1000, y es así como se resuelve la pregunta tan molesta de que tan grande debe ser $n$. Como se puede ver también en este método además del error de la aproximación se tiene un error de confiabilidad.

Queda un problema en el aire el cual ya no discutiré pero debe de tomarse en cuenta este es: ¿cómo calcular \sigma?, a veces será más fácil que calcular la esperanza pero la gran mayoría de las veces será igual o más complicado que calcular esta.

Me queda una duda que esperaría que me resolviera algún físico que me lea: ¿La computación cuántica, lo que eso quiera decir, resolvería el problema de generación de aleatoriedad en las computadoras?. Si la respuesta fuera afirmativa creo este tipo de algoritmos serían de una aplicación perfecta y con una eficacia óptima.

9 Respuestas a “Método Montecarlo y los físico

  1. no manches juan esto que es

  2. Pues la neta los Métodos de Monte Carlo son la neta…..pero no como para ponerlo en un blog.
    Bueno, si fuera un blog 100% matemático o dedicado a la física igual y si, pero este no es el caso…..
    saludos

  3. Pues está chido Juan, pero el problema es que calcular sigma con precisión también puede ser una joda…. por supuesto, es menos burdo que el error que calculan los físicos.

    Podrías mencionar que la ley de los grandes números es un caso particular del teorema ergódico? jijiji

    Por cierto, el blog es un blog sobre cualquier cosa… te hemos visto escribir sobre muchas cosas sin represalias, no veo porqué se tenga que marginar este tema, aunque sea medio ñoño (Ñoños y Marcos somos todos).

  4. Pues yo no he visto que juanelo hable sobre sexo anal….

  5. hmmm… presiento que un jueves cercano habrá un post de sexo anal.

  6. Qué mal pedo. Al final censuró el post de sexo anal…

  7. ReBien, esto era lo que andaba buscando…

    Gracias.

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